martes, 12 de febrero de 2013

Prueba de Hipótesis para la Media


El promedio aritmético poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente se desea probar si dicho promedio ha permanecido igual, ha aumentado o ha disminuido. A través de la prueba de hipótesis se determina si la media poblacional es significativamente mayor o menor que algún valor supuesto.
Hipótesis
Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:
- Prueba de hipótesis a dos colas
H0 : = k
H1 :  k
- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 :   = k    ó    H0 :    k
H1 : >k    ó    H1 :   > k
- Prueba de hipótesis a una cola inferior
H0 :   = k    ó    H0 :    k

H1 : < k    ó    H1 :  < k

3.2.1 Prueba de hipótesis para la media si la población de donde se obtiene la muestra tiene distribución normal con   conocida.
La estadística de trabajo a usar corresponde a la expresión:
(3.1)
Donde:   es el valor que se está suponiendo en la hipótesis nula (H0).


REGLA DE DECISION
- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como: H1 :   k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia (  ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura.

Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas.

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:
H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia (   ) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura.

Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior.


- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:
H1 :  < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia (  ) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura

Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior.

3.2.2 Prueba de hipótesis para el medio si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n30 de una población con cualquier distribución.
La estadística de trabajo a usar es la expresión (1.7):

REGLA DE DECISION
Es la misma que en el caso anterior y depende en todo caso de la hipótesis alternativa.

EJEMPLO
La duración promedio de las llantas producidas por una fábrica de llantas, según experiencias registradas es de 46.050 kms. Se desea probar si el promedio poblacional ha cambiado; para tal efecto se toma una muestra aleatoria de 60 llantas y se obtiene una duración promedio de 45.050 kms. con una desviación estándar de 3.070 kms.

Solución
H 0 :  = 46.050
H1 :   46.050
Teniendo en cuenta que el tamaño de la muestra es grande, como estadística de trabajo se utiliza la expresión 3.2

Por la hipótesis alternativa, la regla de decisión es a dos colas. La tabla a utilizar es la de la distribución normal. Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, los correspondientes valores de Z son -1,96 y 1,96. Como puede observarse en la figura 3.5, el valor de la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 95 por ciento se acepta que la duración promedio de las llantas ha cambiado.


Prueba de hipótesis para el medio si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n <30 de una población con cualquier distribución.

Mediante el siguiente ejemplo explicaremos el razonamiento a seguir para demostrar una prueba de hipótesis de dos extremos con una muestra menor a 30, en donde aplicaremos la distribución t.

Un especialista en personal que labora en una gran corporación, está reclutando un vasto número de empleados para un trabajo en el extranjero. Durante la realización de pruebas, la gerencia pregunta cómo marchan las cosas y el especialista contesta: “Bien, creo que la puntuación promedio en el test de actitudes será  90”. Cuando la gerencia revisa 20 de los resultados de la prueba, averigua que la puntuación media es 84 y la desviación estándar de esta puntuación es 11. Si la gerencia quiere probar la hipótesis del especialista en personal en el nivel de significancia de 0.10, ¿cuál será el procedimiento a que recurra?
                 m = 90’’ 
                 n = 20

Datos:  = 84
                 s = = 11
                a = 0.10
Las hipótesis son:
Ho: m = 90’’
H1 : m ¹ 90’’
El error estándar estimado de la media será:

En la tabla t de Student se localiza a = 0.10 y gl = 20 – 1, o sea gl = 19 y se encuentra que:  t = 1.729
Con estos datos ya podemos determinar los limites superior e inferior del intervalo de confianza, mediante la expresión:


Lc = 90” ± 1.729 (2.46)       Ls = 90” + 4.246          Ls = 94.25”
Li = 90” – 1.729 (2.46)         Li = 90” –  4.246          Li = 85.75”
Gráficamente esto sucede:

Como la media muestral cae en la zona de rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
Concluimos que la gerencia tiene suficientes evidencias para demostrar que el especialista está equivocado, que la puntuación media no es 90.


integrantes:
Luis Gómez C.I:17631483
Jeam León C.I:


No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada