Universidad Bicentenaria de Aragua -. Estadistica III: Grupo 5: Estimacion

Grupo 5: ESTIMACIÓN

BACHILLERES:

Jesús Colmenares.

Eddilys Naranjo.

Rodrigo Rodríguez.

Sergio Ytanare.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Es un solo valor o número que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. A menudo una estimación puntual es insuficiente debido a que solo se tienen dos opciones: es correcta o está equivocada. Se estaría haciendo un estimación puntal si por ejemplo, un je de departamento de una universidad afirmara: Nuestros datos actuales indican que en la materia de matemáticas tendremos 350 estudiantes el siguiente semestre.

Propiedades

Insesgadez: Si el valor del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estudia, se dice que el estudio muestral es un aestimador insesgado del parámetro poblacional.
Eficiencia: Se dice que el estimador puntual con menor error estándar tiene mayor eficiencia relativa que los otros.Cuando se muestrean poblaciones normales, el error estándar de la media muestral es menor que el error estándar de la mediana muestral. Por tanto,la media muestral es más eficiente que la mediana muestral.
Consistencia: Un estimador puntual es consistente si el valer del estimador puntual tiende a estar más cerca del parámetro poblacional a medida que el tamaño de la muestra aumenta. En otras palabras, una muestra grande tiende a proporcionar mejor estimación puntual que una pequeña.

Estimación puntual:

Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado (ausencia de sesgos) y estable en el muestreo (varianza mínima)

Una estimación es puntual cuando se usa un solo valor extraído de la muestra para estimar el parámetro desconocido de la población. Al valor usado se le llama estimador.

La media de la población se puede estimar puntualmente mediante la media de la muestra.

La proporción de la población se puede estimar puntualmente mediante la proporción de la muestra.

La desviación típica de la población se puede estimar puntualmente mediante la desviación típica de la muestra, aunque hay mejores estimadores.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:

Intervalo de confianza
El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial.

Variabilidad del Parámetro
Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

Error de la estimación
Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = θ2 - θ1.

Límite de Confianza
Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-α)·100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de 0,05 y 0,01 respectivamente.

Valor α
También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05
Valor crítico
Se representa por Zα/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,1 se calcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Zα/2 = 1,64. Si la media o desviación típica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-μ)/σ para su cálculo.
Con estas definiciones, si tras la extracción de una muestra se dice que "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confianza según las definiciones dadas.
Para un tamaño fijo de la muestra, los conceptos de error y nivel de confianza van relacionados. Si admitimos un error mayor, esto es, aumentamos el tamaño del intervalo de confianza, tenemos también una mayor probabilidad de éxito en nuestra estimación, es decir, un mayor nivel de confianza.

ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN

A partir de la fórmula para el intervalo de confianza

Podemos determinar el tamaño muestral necesario con el fin de que la precisión de la estimación sea la deseada con antelación. La fórmula que resulta es

donde d es el radio máximo deseado para el intervalo y zα/2 tiene el significado habitual. Nótese que no hemos tenido en cuenta el último término de la primera expresión.

La aplicación efectiva de la fórmula obtenida requiere el conocimiento de p y de q = (1 − p), valores que nos son desconocidos en la práctica. Para solventar este problema tenemos dos alternativas:

Considerar el caso más desfavorable posible, es decir, aquel que verifique que p · q da el valor máximo posible. Es fácil verificar que esto sucede si p = 0,5. En este caso el producto es p · q = 0,25.

Utilizar un valor de referencia obtenido a partir de una muestra piloto o a partir de datos bibliográficos y utilizar el valor compatible con la información más cercano a p = 0,5.

A partir de la fórmula puede comprobarse que el tamaño muestral requerido, una vez fijada p, crece al incrementarse la confianza del intervalo y crece también al incrementarse la precisión (al disminuir el radio).